$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Matrice de permutation

  Une matrice de permutation d'ordre $n$ est une matrice carrée de taille $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $0$, sauf un coefficient sur chaque ligne et sur chaque colonne égal à $1$.

  Les matrices de permutation sont associées aux permutations de $\{1,\dots,n\}$. Prenons $\sigma\in S_n$, et associons-lui la matrice $P_\sigma$ telle que la $j$-ème colonne de $P_\sigma$ ne comporte que des zéros, excepté le coefficient sur la $\sigma(j)$-ième ligne qui vaut $1$. Alors $P_\sigma$ est une matrice de permutation. Réciproquement, toute matrice de permutation définit une permutation par la transformation inverse.

  Les matrices de permutation permettent de permuter les lignes et les colonnes d'une matrice $A$. Ainsi,
  • $A P_\sigma$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les colonnes de $A$ suivant la permutation $\sigma$;
  • $P_\sigma A$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les lignes de $A$ suivant la permutation $\sigma^{-1}$;
  Par ailleurs, si $\sigma,\tau\in S_n$, alors $$P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\circ\tau}.$$
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