Équation de Pell-Fermat
On appelle équation de Pell-Fermat l'équation diophantienne $y^2-dx^2=1$, où $d$ est un entier qui n'est pas un carré. L'adjectif "diophantienne" signifie que l'on cherche des solutions avec $x$ et $y$ qui sont des entiers.
Il se trouve que cette solution a toujours des solutions, et que l'on sait même les déterminer. On commence par déterminer une solution $(x_0,y_0)$, avec $x_0>0$ le plus petit possible, à l'aide du développement en fraction continue de $\sqrt d$. Ensuite, étant donnée cette solution "primitive", on peut montrer que toutes les solutions $(x_n,y_n)$ sont données par le système $$\left\{ \begin{eqnarray*} y_n+\sqrt d x_n&=&(y_0+\sqrt d x_0)^n\\ y_n-\sqrt d x_n&=&(y_0-\sqrt d x_0)^n \end{eqnarray*} \right.$$
Cette équation porte le nom du mathématicien anglais John Pell, mais c'est
une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude. En fait, le premier à avoir décrit l'ensemble
des solutions de cette équation est le mathématicien indien Brahmagupta, qui vivait au VIIè siècle après J-C,
soit près de 1000 ans avant Pell. Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVIIè siècle,
et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions.
Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait!
Remarquons qu'on désigne parfois plus généralement équation de Pell-Fermat l'équation $x^2-dy^2=m$, où $m$ est un entier,
et où les inconnues $x$ et $y$ sont aussi des entiers.
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