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Matrice de passage

  Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d'une base B1=(e1,...,en) et d'une base B2=(f1,...,fn). On appelle matrice de passage de B1 à B2 la matrice carrée de taille n dont la j-ième colonne est formée des coordonnées de fj dans la base B1. Autrement dit, la matrice de passage de B1 à B2 est la matrice des nouveaux vecteurs de base exprimés en fonction des anciens.

Ex : Dans R2, la matrice de passage de la base canonique à la base (I,J) avec I=(2,3) et J=(4,5) est :

La matrice de passage de B1 à B2 permet de relier les coordonnées d'un vecteur dans B1 à celles dans B2.

Proposition : Soit e un vecteur de E, X1 ses coordonnées dans B1, X2 ses coordonnées dans B2, et soit P1,2 la matrice de passage de B1 à B2. Alors on a :
X1=P1,2X2

Les matrices de passage sont aussi utiles pour obtenir les formules de changement de base d'une application linéaire :

Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient B1 et B2 deux bases de E, et C1, C2 deux bases de F. Soit encore u une application linéaire de E dans F. On note
  • A la matrice de u dans les bases B1 (au départ) et C1 (à l'arrivée);
  • B la matrice de u dans les bases B2 (au départ) et C2 (à l'arrivée);
  • P la matrice de passage de B1 à B2;
  • Q la matrice de passage de C1 à C2.
  Alors on a la relation :
B=Q-1AP.

  On utilise le plus souvent cette relation lorsque l'application linéaire u est un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans E. Dans ce cas, si
  • A est la matrice de u dans la base B,
  • B est la matrice de u dans la base C,
  • P est la matrice de passage de B à C,
alors les matrices sont reliées par la formule :
A=PBP-1.