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Théorème de Pascal - en arithmétique

Théorème : Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels non-nuls. On écrit $n=\overline{a_p\dots a_0}$ en système décimal. On définit une suite $r_i$ par $$\left\{ \begin{array}{l} r_0=1\\ r_{i+1}\textrm{ est le reste dans la division euclidienne de }10r_i\textrm{ par }m. \end{array}\right. $$ Alors, $$n\equiv \sum_{i=0}^p a_i r_i\ [m].$$
  Ce théorème est à la base des critères de divisibilité par 3,9,10 et 11. Par exemple :
  • divisibilité par 3 : on prouve facilement par récurrence que $r_i$ est toujours égal à $1$, ceci car 10 est congru à 1 modulo 3. Ainsi, le théorème de Pascal dans le cas $m=3$ s'énonce : un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • divisibilité par 9 : le même raisonnement s'applique, et on obtient qu'un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
  • divisibilité par 11 : c'est un petit plus compliqué, car cette fois 10 est congru à -1 modulo 11. On prouve alors que les entiers $r_i$ valent successivement 1 et -1. On en déduit que $n=\overline{a_p\dots a_0}$ est divisible par 11 si et seulement si $a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^p a_p$ est divisible par 11.
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