$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Triangle de Pascal

  Le théorème suivant est connue sous le nom de relation de Pascal ($\binom n p$ désigne le nombre de parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments) :
Théorème : Pour tous entiers $n$ et $p$ avec $1\leq p\leq n-1$, on a : $$\binom np=\binom{n-1}p+\binom{n-1}{p-1}.$$
  Supposons en effet que vous deviez former une équipe de foot (11 joueurs) parmi 22, et que parmi ces joueurs, il y a Zidane. Alors vous avez deux choix :
  1. Soit vous faites une équipe avec Zidane : il vous reste 10=11-1 joueurs à choisir parmi 21=22-1.
  2. Soit vous faites une équipe sans Zidane : il vous reste 11 joueurs à choisir parmi 21=22-1!
  La formule précédente donne un procédé algorithmique pour calculer les coefficients binômiaux : on remplit le tableau suivant en mettant des 1 à la première colonne, et en remplissant le reste du tableau suivant la règle suivante : chaque coefficient s'obtient comme la somme du coefficient qui est juste au-dessus de lui, et du coefficient qui est à la gauche de ce dernier.

   On en déduit le tableau suivant, dit triangle de Pascal :
Lorsque Pascal construit en 1654 son triangle arithmétique, il est loin d'être le premier à avoir organisé les nombres de cette façon. Le triangle arithmétique est même connu en Chine, en Inde ou dans les pays arabes dès le XIè ou le XIIè siècle. L'apport de Pascal est une étude systématique, et surtout pour réaliser cette étude, il utilise pour la première fois le raisonnement par récurrence.

Consulter aussi...