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Théorème de récurrence de Poincaré, et application au paradoxe de Zermelo

Théorème de récurrence de Poincaré
Soit $(X,B,m)$ un espace de probabilité, $T$ une application bijective de $X$ dans $X$, telle que $T$ et $T^{-1}$ soient mesurables, et $T$ préserve la mesure. Alors, pour tout $A$ tel que $m(A)>0$, pour presque tout $x$ de $A$, il existe une suite croissante $(n_i)$ telle que $T^{n_i}x\in A$ pour tout entier $i$.
Application
  Soit un gaz enfermé dans un volume fini. En mécanique statistique classique, un gaz est vu comme un grand nombre de molécules, interagissant les unes avec les autres, suivant les lois de la mécanique classique. Les physiciens disent que ce gaz est un système hamiltonien.

  On note T l'application qui, étant donné un état du système à l'instant initial, donne l'état une seconde plus tard. C'est très compliqué, mais on peut mettre une mesure m sur ce système, telle que T préserve la mesure. On prend pour A l'ensemble des états du système telle que, toutes les molécules se trouvent dans la moitié gauche du volume. Quand on a construit la mesure m, c'est en revanche très facile de voir que m(A)>0.

  On suppose maintenant qu'à l'instant initial, toutes les molécules sont dans la moitié gauche du volume. Bien sûr, il est intuitivement clair que le gaz va immédiatement se disperser partout. Ce que dit le théorème de récurrence de Poincaré, c'est qu'une infinité de fois, on va revenir à l'état initial, c'est à dire que toutes les molécules seront à nouveau dans la moitié gauche du volume.

  C'est un paradoxe (le paradoxe de Zermelo), car de toute l'histoire de l'humanité, on n'a jamais observé un tel phénomène. Il est en général résolu en disant que ce système hamiltonien a un grand nombre de degrés de liberté (1cm3 contient de l'ordre de 1020molécules), et que les cycles dans le théorème de Poincaré sont si longs qu'ils excèdent la durée de vie de la galaxie. En revanche, dans le cas où on fait une simulation informatique avec de l'ordre de 10 molécules, l'ordinateur nous montre que ce phénomène se produit...
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