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Le paradoxe du prince de Toscane

  Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent un total de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Galilée lui donna une explication de ce paradoxe, que l'on formule ici en langage moderne.

  Il y a effectivement autant de façons d'écrire 9 que 10 comme somme de 3 chiffres inférieurs ou égaux à 6 :
Pour autant, ces écritures ne sont pas équivalentes : il n'y a qu'une seule façon d'obtenir 9 sous la forme 3+3+3 : chaque dé doit avoir la valeur 3. A l'opposé, pour obtenir 10 sous la forme 1+3+6, on choisit d'abord un dé parmi 3 qui vaut 1, puis un dé parmi les deux restants qui vaut 3, et le dernier vaut 6 : cela fait 6 façons!

  Si l'on veut calculer la probabilité pour que la somme des chiffres fasse 9 ou 10, il faut donc avoir recours à un dénombrement précis des cas possibles. Si i,j,k sont 3 chiffres compris entre 1 et 6, on note P({i,j,k}) la probabilité d'obtenir le triplet (non ordonné) {i,j,k}. On a :
On a donc :
La différence est faible. Il fallait que le prince de Toscane soit un sacré joueur pour pouvoir l'apprécier!