$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Paradoxe du prisonnier

  Dans un pays où la justice est rendue de façon singulière, un prisonnier a été condamné. Pour déterminer sa peine, il doit choisir entre 3 portes. Derrière deux d'entre elles, c'est l'échafaud, mais derrière la dernière, c'est la liberté! Le prisonnier désigne la porte n°2. Le geolier, dans sa grande bonté, lui précise : "Derrière la porte 1, c'est l'échafaud! Voulez-vous changer de porte?". Vous êtes à la place du prisonnier. Que faites-vous?

  Si vous ne changez pas de porte, vous faites comme 75% des gens, et vous avez tort! En effet :
  • Avec la stratégie de ne jamais changer de porte, il est clair que vous avez juste une chance sur trois de vous en sortir, puisque il y a une chance sur trois simplement que vous désigniez la bonne porte au départ.
  • Avec la stratégie de toujours changer de porte :
    • si le condamné avait dès le départ choisi la bonne porte, il perd immanquablement. Ce cas se produit avec une probabilité de 1/3.
    • si le condamné avait choisi une mauvaise porte, ce qui arrive avec une probabilité de 2/3, le geolier est obligé de montrer la 2è porte avec l'échafaud. La 3è porte, qui est choisie quand on change, est celle de la liberté.
On a donc 2 chances sur 3 de s'en sortir si on change de porte, contre 1 sur 3 si on ne change pas!

  Tout l'intérêt des probabilités conditionnelles est dans ce problème. Le gardien apporte une information, dont il faut tenir compte.

Ce paradoxe a été mis à la mode dans les années 1990 grâce à un jeu télévisé américain, Let's make a deal (le Bigdil en France). Dans ce jeu, le candidat choisissait au terme du jeu entre 3 portes, avec 1 cabriolet et 2 chèvres. La controverse est née d'un article dans une revue allemande militant en faveur du changement de porte, signé Marilyn vos Savant, qui a la particularité d'avoir le plus grand QI jamais mesuré (228). De grands scientifiques auraient été contre cette idée, et lui auraient envoyé des lettres d'insultes...