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Bibm@th

Le paradoxe de Saint-Petersbourg

  Considérons le jeu suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparait, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2n euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu?

  En d'autres termes, il nous faut calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie : ce doit-être la mise initiale pour que le jeu soit équitable. Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 2 euros. La probabilité pour que cela arrive est 1/2, ce qui donne une espérance pour ce coup de 1/2× 2=1. Si face intervient pour la première fois au 2ème lancer, ce qui se produit avec une probabilité de 1/2×1/2=1/4, le gain est de 4 euros, ce qui fait une espérance de gain de 1 euro pour ce coup.

  Plus généralement, si face apparait pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de 1/2n, le gain est de 2n euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles, et vaut donc :
On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est bien sûr impossible.

  Ce paradoxe tire son origine du fait qu'une des hypothèses est irréaliste. Implicitement, on suppose que l'argent dont dispose la banque est infini, puisqu'elle peut payer des sommes arbitrairement grandes. Si l'on suppose que la banque dispose de réserves limitées à 1.000.000 euros, elle paie si face apparaît au n-ième lancer 2n euros si 2n<1.000.000 euros, et 1.000.000 euros si 2n>1.000.000. La premier n pour lequel 2n>1.000.000 est n=20. L'espérance vaut alors :
C'est une somme raisonnable à miser!

Ce paradoxe a été proposé à l'origine par Nicolas Bernoulli dans une lettre daté de septembre 1713. Il a été repris et modifié par Daniel Bernoulli, son neveu, et discuté dans les Transactions de l'Académie de Saint-Petersbourg, d'où son nom. La famille Bernoulli est la plus prolifique en mathématiciens : elle en a produit 8 en 3 générations!
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