$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Paradoxe de Dougherty-Foreman

Théorème : Soit $A$ et $B$ deux ensembles ouverts bornés non vides de $\mathbb R^n$ avec $n\geq 3$. Alors il existe des ensembles ouverts $A_1,\dots,A_n$ (respectivement $B_1,\dots,B_n$) deux à deux disjoints et contenus dans $A$ (respectivement dans $B$) tels que :
  • pour tout $i=1,\dots,n$, les ensembles $A_i$ et $B_i$ sont isométriques;
  • $A$ et $B$ sont contenus respectivement dans l'adhérence de $\bigcup_{i=1}^n A_i$ et $\bigcup_{i=1}^n B_i$.

Autrement dit, on peut découper une étoile en un nombre fini d'ouvert deux à deux disjoints, et en ne laissant aucun trou, de sorte que, en déplaçant ces ouverts, de sorte qu'il n'y a toujours aucun recouvrement, on reconstitue tout juste un grain de sable! Ce paradoxe très étonnant fait penser au paradoxe de Banach-Tarsky. Cependant, contrairement à ce dernier, sa preuve ne nécessite pas l'utilisation de l'axiome du choix.

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