Paradoxe de Banach-Tarski

Il s'agit du théorème suivant : considérons dans l'espace une boule de rayon 1. Alors on peut casser la boule en un nombre fini de morceaux tels que, si on les réarrange d'une autre façon, on peut en faire une boule de rayon 2.

Mais ils sont fous ces matheux, n'est-ce pas??? Et pourtant, la démonstration de ce paradoxe, bien qu'un peu compliquée, est parfaitement rigoureuse. Parfaitement rigoureuse, du moment que l'on admet le résultat suivant : si on a un nombre infini d'ensembles $E_i$ tous non vides, on peut pour chaque ensemble $E_i$ choisir un élément $x_i$ et considérer l'ensemble des $x_i$. Ce petit énoncé a l'air anodin, mais il engendre des conséquences comme le paradoxe de Banach-Tarski. Il s'agit de l'axiome du choix qu'on peut, ou non, rajouter à la théorie des ensembles.

Pour revenir au problème initial, pas d'inquiétudes, les morceaux qu'on découpe sont si compliqués qu'on n'est pas prêt (en fait, on ne le sera jamais) de pouvoir trouver un puzzle permettant de passer d'une boule à l'autre.