Changement de paramétrage d'un arc paramétré
Soient $(I,f)$ et $(J,g)$ deux arcs paramétrés. On dit qu'ils sont $C^k$-équivalents s'il existe un $C^k$-difféomorphisme $\theta$ de $I$ sur $J$ tel que l'on ait $f=g\circ\theta.$ On dit encore que $(J,g)$ est un paramétrage admissible de l'arc $(I,f).$
La relation être $C^k$-équivalent est une relation d'équivalence sur les arcs paramétrés de classe $C^k.$ On appelle arc géométrique de classe $C^k$ toute classe d'équivalence pour cette relation.
Exemple : Les deux arc paramétrés $$\left(]-\pi,\pi[,\ t\mapsto (\cos(t),\sin(t))\right)\quad\quad\left(\mathbb R, \ u\mapsto \left(\frac{1-u^2}{1+u^2},\frac{2u}{1+u^2}\right)\right)$$ sont $C^1$-équivalents, le changement de paramétrage étant donné par l'application \begin{eqnarray*} \theta:]-\pi,\pi[&\to&\mathbb R\\ t&\mapsto&\tan(t/2). \end{eqnarray*}
Les distinctions entre arcs paramétrés, arcs géométriques et courbes paramétrées (ou support d'un arc paramétré) sont subtiles mais importantes. Ainsi :
- les deux arcs paramétrés de l'exemple précédent sont différents, mais correspondent au même arc géométrique et donc ont même support;
- deux arcs paramétrés peuvent être des arcs géométriques différents, mais avoir le même support. C'est par exemple le cas des arcs suivants $$([0,2\pi],\ t\mapsto(\cos(t),\sin(t))\quad\quad ([0,2\pi],\ t\mapsto(\cos(2t),\sin(2t)).$$ Ces deux arcs paramétrés ont le même support (le cercle unité) mais ne sont pas $C^1$-équivalents et donc ne définissent pas le même arc géométrique. Par exemple, pour le premier arc, le point $(0,1)$ admet un seul antécédent, alors qu'il en admet deux par le deuxième arc.