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Changement de paramétrage d'un arc paramétré

Définitions :
  • Soient (I,f) et (J,g) deux arcs paramétrés. On dit qu'ils sont Ck-équivalents s'il existe un Ck-difféomorphisme de I sur J tel que l'on ait . On dit encore que (J,g) est un paramétrage admissible de l'arc (I,f).
  • la relation être Ck équivalent est une relation d'équivalence sur les arcs paramétrés de classe Ck. On appelle arc géométrique de classe Ck toute classe d'équivalence pour cette relation.

Exemple : Les deux arc paramétrés

sont C1 équivalents, le changement de paramétrage étant donné par l'application

  Les distinctions entre arcs paramétrés, arcs géométriques et courbes paramétrées (ou support d'un arc paramétré) sont subtiles mais importantes. Ainsi :
  • les deux arcs paramétrés de l'exemple précédent sont différents, mais correspondent au même arc géométrique et donc ont même support;
  • deux arcs paramétrés peuvent être des arcs géométriques différents, mais avoir le même support. C'est par exemple le cas des arcs suivants

    Ces deux arcs paramétrés ont le même support (le cercle unité) mais ne sont pas C1-équivalents et donc ne définisse pas le même arc géométrique. Par exemple, pour le premier arc, le point (0,1) admet un seul antécédent, alors qu'il en admet deux par le deuxième arc.
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