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Théorèmes de Paley-Wiener

Les théorèmes de Paley-Wiener sont des théorèmes permettant de démontrer que, lorsqu'on contrôle le support d'une fonction de $L^2(\mathbb R)$, alors sa transformée de Fourier peut être définie comme une fonction d'une variable complexe sur un plan ou sur un demi-plan et on peut contrôler sa croissance.

Théorème : Soit $P=\{z\in\mathbb C;\ \mathrm{Im}z>0\}$ le demi-plan de Poincaré et soit $f:P\to\mathbb C$. Alors il existe $F\in L^2([0,+\infty[)$ tel que, pour tout $z\in P$, $$f(z)=\int_0^{+\infty}F(t)e^{itz}dt$$ si et seulement si $f$ est holomorphe et vérifie $$\sup_{0<y<+\infty}\frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+iy)|^2dx<+\infty.$$

Autrement dit, la transformée de Fourier est une bijection de $L^2([0,+\infty[)$ sur l'espace de Hardy du demi-plan de Poincaré.

Théorème : Soit $A>0$ et soit $f:\mathbb C\to\mathbb C$. Alors $f$ est une fonction entière dont la restriction à $\mathbb R$ appartient à $L^2$ et telle que $$\exists C>0,\ \forall z\in \mathbb C, |f(z)|\leq Ce^{A|z|}$$ si et seulement s'il existe $F\in L^2([-A,A])$ tel que, pour tout $z\in \mathbb C$, $$f(z)=\int_{-A}^{A}F(t)e^{itz}dt.$$

Ce théorème (en fait, on a besoin d'une toute petite partie de ce théorème) est très utile pour démontrer que la transformée de Fourier d'une fonction à support compact ne peut pas être à support compact, sauf s'il s'agit de la fonction nulle.

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