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Bibm@th

Plan osculateur

  Soit (I,f) un arc paramétré de l'espace R3 et C=f(I) la courbe paramétrée associée. En un point régulier M=f(t) de la courbe, on peut associer une droite tangente, dirigée par le vecteur f'(t). Cette droite tangente est contenue dans une infinité de plans, qui sont tous tangents à la courbe. Parmi ces plans tangents, il en est un qui joue un rôle particulier, le plan osculateur.

Définition - Théorème : Soit (I,f) un arc paramétré de R3 et C=f(I) la courbe associée. On appelle plan osculateur de C en M=f(t) le plan limite, s'il existe, des plans tangents à f(t) astreints à passer par M(t+h), lorsque h tend vers 0.

Si f est Cm, et s'il existe deux vecteurs f(k)(t) et f(l)(t) qui sont linéairement indépendants, on note

Alors M possède un plan osculateur en t de vecteurs directeurs f(p)(t), f(q)(t).

  Lorsque l'arc est trirégulier, on a encore une autre caractérisation du plan osculateur : c'est le seul plan tangent qui est traversé par la courbe.

Le mot osculateur vient du latin "osculare", caresser.