$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Orthogonal d'une partie

Dans un espace vectoriel euclidien
  E désigne un espace vectoriel euclidien (ou préhilbertien) et X une partie de E.

Définition : On appelle orthogonal de X la partie :

  On dispose des propriétés suivantes :
  • est un sous-espace vectoriel (fermé) de E pour toute partie X.
  • pour toutes parties A et B de E.
  • avec égalité si X est un sous-espace fermé de E.
Au sens de la dualité
  E désigne un espace vectoriel, S une partie de E et T une partie du dual E*.

Définition : On appelle orthogonal de X la partie de E* :
On appelle pré-orthogonal de T la partie de E :

  L'orthogonal (resp. le pré-orthogonal) d'une partie sont toujours un sous-espace vectoriel. Quand l'espace vectoriel E est de dimension n, on a en outre le résultat suivant :

Théorème : Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors on a
De même, si G est un sous-espace vectoriel de E*, on a

En particulier, une partie S de E engendre E si et seulement si son orthogonal est réduit à {0}.