$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Orthogonal d'une partie

Dans un espace euclidien

$E$ désigne un espace préhilbertien et $X$ une partie de $E$.

Définition : On appelle orthogonal de $X$ la partie : $$X^\perp=\{y\in E:\ \forall x\in X,\ \langle x,y\rangle=0\}.$$

On dispose des propriétés suivantes :

  • $X^\perp$ est un sous-espace vectoriel (fermé) de $E$ pour toute partie $X\subset E$.
  • $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$ pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$.
  • $X\subset (X^\perp)^\perp$ pour toute partie $X\subset E$.
  • $X^\perp=(\bar X)^\perp=(\textrm{vect(X)})^\perp$ pour toute partie $X\subset E.$

De plus, si $E$ est un espace de Hilbert (en particulier, si $E$ est un espace euclidien), alors on a $(X^\perp)^\perp=\overline{\textrm{vect}(X)}$ pour toute partie $X$ de $E$.

On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : $A$ et $B$ sont orthogonales si $\langle x,y\rangle=0$ pour tout $x\in A$ et tout $y\in B$. Pour $X\subset E$, $X^\perp$ est alors la plus grande partie de $E$ orthogonale à $X$.

Au sens de la dualité

$E$ désigne un espace vectoriel, $S$ une partie de $E$ et $T$ une partie du dual $E^*$.

Définition : On appelle orthogonal de $X$ la partie de $E^*$ : $$S^\perp=\left\{\phi\in E^*:\ \forall x\in S,\ \phi(x)=0\right\}.$$ On appelle pré-orthogonal de $T$ la partie de $E$ $$T_\perp=\{x\in E:\ \forall \phi\in T,\ \phi(x)=0\}.$$

L'orthogonal (resp. le pré-orthogonal) d'une partie est toujours un sous-espace vectoriel. On a en outre les propriétés algébriques suivantes :

Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel. On a les propriétés suivantes :
  • Si $A_1\subset A_2\subset E,$ alors $A_2^\perp\subset A_1^\perp.$
  • Si $B_1\subset B_2\subset E^*,$ alors $(B_2)_\perp \subset (B_1)_\perp.$
  • Si $A \subset E,$ alors $A^\perp = (\textrm{vect}(A))^\perp.$
  • Si $B \subset E^*,$ alors $B_\perp = (\textrm{vect}(B))_\perp.$
  • Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E,$ alors $F\subset (F^\perp)_\perp.$
  • Si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E^*,$ alors $G\subset (G_\perp)^\perp.$
  • Si $F_1,F_2$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E,$ alors $$(F_1+F_2)^\perp=F_1^\perp\cap F_2^\perp \textrm{ et } F_1^\perp+F_2^\perp\subset (F_1\cap F_2)^\perp.$$
  • Si $G_1,G_2$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E^*,$ alors $$(G_1+G_2)_\perp=(G_1)_\perp \cap (G_2)_\perp \textrm{ et }(G_1)_\perp+(G_2)_\perp\subset (G_1\cap G_2)_\perp.$$

Pour les espaces vectoriels de dimension finie, on peut préciser la dimension de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel, et par conséquent obtenir des égalités dans les inclusions de la proposition précédente :

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors on a $$\dim(F)+\dim(F^\perp)=\dim(E).$$ De même, si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E^*$, on a $$\dim(G)+\dim(G_\perp)=\dim(E^*)=\dim(E).$$ En particulier, on a $(F^\perp)_\perp=F$ et $(G_\perp)^\perp=G.$

Remarquons que même si $E$ est de dimension infinie, alors on a l'égalité $F=(F^\perp)_\perp.$ En revanche, l'inclusion $G\subset (G_\perp)^\perp$ peut être stricte. Considérons par exemple $E=\mathbb R[X]$ et $G$ le sous-espace vectoriel engendré par les formes linéaires $\varphi_n : P\mapsto P^{(n)}(0),$ $n\in\mathbb N.$ Si $P\in G_\perp,$ alors $P^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\mathbb N$ et donc $P=0.$ Ainsi, $G_\perp=\{0\}$ et $(G_\perp)^\perp=E^*.$ Mais il est facile de voir qu'il existe des formes linéaires sur $E$ qui ne sont pas dans $G,$ par exemple $P\mapsto P(1).$

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