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Triangle et axe orthique

Dans un triangle $ABC$, notons $A'$, $B'$ et $C'$ les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$, $B$ et $C$. Alors le triangle $A'B'C'$ est le triangle orthique de $ABC$. Lorsque $ABC$ est un triangle acutangle (tous ses angles sont aigus), alors le triangle $A'B'C'$ possède la propriété suivante : de tous les triangles inscrits dans $ABC$ (c'est-à-dire dont les 3 sommets sont sur les 3 côtés de $ABC$), le triangle orthique est celui de périmètre minimal.

Par ailleurs, notons

  • $D$ le point d'intersection de $(A'B')$ et $(AB)$;
  • $E$ le point d'intersection de $(B'C')$ et $(BC)$;
  • $F$ le point d'intersection de $(C'A')$ et $(CA)$.

Alors les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés et la droite les contenant est appelée l'axe orthique du triangle $ABC$. De plus, l'axe orthique est perpendiculaire à la droite d'Euler du triangle.

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