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Nappe paramétrée orientable

  Rappelons que deux nappes paramétrés (U,f) et (V,g) sont Ck-équivalentes s'il existe un Ck-difféomorphisme de U sur V tel que l'on ait .

  Si U et V sont supposés connexes, le jacobien d'un difféomorphisme de U sur V ne change pas de signe. Ceci permet d'affiner la classification des nappes paramétrées en introduisant leur orientation.

Définition :
  • Soient (U,f) et (V,g) deux nappes paramétrées. On dit qu'elles sont Ok-équivalentes s'il existe un Ck-difféomorphisme à jacobien positif de U sur V tel que l'on ait .
  • On dit qu'une nappe paramétrée (U,f) est orientable si la relation "être Ok-équivalente" possède exactement deux classe d'équivalence dans l'ensemble des nappes paramétrées Ck-équivalentes à (U,f).

Orienter une nappe paramétrée, c'est alors choisir une des ces deux classes d'équivalence.

  Intuitivement, une nappe paramétrée est orientable si on peut définir le "dessus" et le "dessous", ou bien "l'intérieur" et "l'extérieur" de la nappe. Pensons par exemple à un plan ou à une sphère. Mais, alors qu'un arc paramétré régulier est toujours orientable, ce n'est pas le cas pour une nappe paramétrée régulière. Le ruban de Möbius ou la bouteille de Klein sont deux exemples de nappes paramétrées qui ne sont pas orientables.
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