$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Ordinal

  La notion d'ordinal est une extension de la notion de nombre quand celle-ci indique d'ordre. En effet, un entier naturel peut être utilisé dans deux buts : désigner le nombre d'élements d'une collection (il y a quatre pommes sur la table), ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée (quel est l'âge de ton quatrième enfant?). Lorsqu'on généralise ces notions (très proches dans le cas fini) au cas infini, on est conduit aux notions distinctes de cardinal pour la première, et d'ordinal pour la deuxième.

Définition : On appelle ordinal tout ensemble $\alpha$ tel que la relation d'appartenance est un bon ordre sur $\alpha$ et tout élément de $\alpha$ est une partie de $\alpha$ (on dit que $\alpha$ est un ensemble transitif).
En termes de quantificateur, dire que $\alpha$ est un ordinal signifie que
  • $\forall x\in \alpha, x\notin x$;
  • $\forall x,y,z\in \alpha$, $x\in y$ et $y\in z$ impliquent $x\in z$;
  • $\forall A\subset \alpha$, $A\neq\varnothing$, il existe $x\in\alpha$ tel que, $\forall y\in A$, $y\neq x$, on a $x\in y$;
  • $\forall x\in \alpha,\ x\subset\alpha$.
  On définit ensuite une relation d'ordre sur les ordinaux en disant que $\alpha\leq \beta$ si et seulement si $\alpha\subset\beta$. On démontre alors que deux ordinaux distincts $\alpha$ et $\beta$ sont toujours comparables : on a $\alpha\in\beta$ ou $\beta\in\alpha$. De même tout ensemble formé d'ordinaux est bien ordonnée.

Exemples :
  • le plus petit ordinal est $\varnothing$. Il est noté $0$.
  • le plus petit ordinal contenant $\varnothing$ est $\{\varnothing\}$. Il est noté $1$.
  • l'ordinal suivant est $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$. Il est noté $2$.
On construit ainsi toute la suite des entiers naturels. De cette façon, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné par la relation d'appartenance, et l'inclusion des ensembles se traduit par la relation d'ordre usuelle sur les entiers naturels. L'ensemble de tous les entiers naturels $\omega$ est alors un ordinal, le premier ordinal infini. Il correspond à l'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ muni de son ordre naturel. On peut alors définir d'autres ordinaux infinis de la façon suivante : \begin{eqnarray*} \omega+1&=&\{0,1,2,\dots,\omega\}\\ \omega+2&=&\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1\}\\ 2\omega&=&\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots\}\\ 2\omega+1&=&\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,2\omega\}\\ \omega^2&=&\omega\cup2\omega\cup3\omega\cup\dots \end{eqnarray*} Remarquons que tous les ordinaux précédents sont distincts, mais ont le même cardinal, ce qui pointe la différence entre ordinal et cardinal pour les ensembles infinis.

  Comme on l'a légèrement évoqué ci-dessus, on peut définir des opérations sur les ordinaux. Par ailleurs, les ordinaux sont utilisés dans la méthode de récurrence transfinie, qui généralise la récurrence ordinaire qu'on applique sur les entiers : si $\mathcal P$ est une propriété portant sur les ordinaux telle que, pour tout ordinal $\alpha$, on ait la propriété suivante : $$(\forall \beta<\alpha,\ \mathcal P(\beta))\implies \mathcal P(\alpha)$$ et si $\mathcal P(0)$ est vérifiée, alors $\mathcal P$ est vérifiée par tous les ordinaux.
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