$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Orbites et stabilisateurs

  Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $E$, et $x$ un élément de $E$. On appelle :
  • orbite de $x$ la partie de E définie par $\textrm{Orb}(x)=\{g\cdot x;\ g\in G\}$.
  • stabilisateur de $x$ la partie de $G$ définie par $G_x=\{g\in G;\ g\cdot x=x\}$.
Remarquons que l'ensemble des orbites forme une partition de E, tandis que $G_x$ est un sous-groupe de $G$ pour tout $x\in E$. D'autre part, si G est fini, l'orbite de x est finie, et on a la relation : $$\textrm{card}(G)=\textrm{card}(G_x)\times\textrm{card}(\textrm{Orb}(x)).$$ Ceci permet de démontrer la relation suivante, dite équation aux classes : si $E$ et $G$ sont finis, si $x_1,\dots,x_n$ sont des éléments de $E$ tels que $\textrm{Orb}(x_1),\dots,\textrm{Orb}(x_n)$ soit une liste des orbites de $E$ sous l'action de $G$, alors on a :
Cette relation très importante intervient dans la résolution de quantités de problèmes. Par exemple, on peut citer le théorème de Lagrange (le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe), ou le fait qu'un groupe d'ordre $p^n$, où p est premier, admet un centre non-trivial.
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