Orbites et stabilisateurs
Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $E$, et $x$ un élément de $E$. On appelle :
- orbite de $x$ la partie de $E$ définie par $\textrm{Orb}(x)=\{g\cdot x;\ g\in G\}$.
- stabilisateur de $x$ la partie de $G$ définie par $G_x=\{g\in G;\ g\cdot x=x\}$.
Remarquons que les orbites forment une partition de $E$, tandis que $G_x$ est un sous-groupe de $G$ pour tout $x\in E$. D'autre part, si $G$ est fini, l'orbite de $x$ est finie, et on a la relation : $$\textrm{card}(G)=\textrm{card}(G_x)\times\textrm{card}(\textrm{Orb}(x)).$$ Ceci permet de démontrer la relation suivante, dite équation aux classes : si $E$ et $G$ sont finis, si $x_1,\dots,x_n$ sont des éléments de $E$ tels que $\textrm{Orb}(x_1),\dots,\textrm{Orb}(x_n)$ soit une liste des orbites de $E$ sous l'action de $G$, alors on a $$\textrm{card}(E)=\sum_{i=1}^n \frac{\textrm{card}(G)}{\textrm{card}(G_{x_i})}=\sum_{i=1}^n \textrm{card}(\textrm{Orb}(x_i)).$$ Cette relation très importante intervient dans la résolution de quantités de problèmes. Par exemple, on peut citer le théorème de Lagrange (le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe), ou le fait qu'un groupe d'ordre $p^n$, où $p$ est premier et $n\in\mathbb N^*$, admet un centre non trivial.