$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th
Orbites et stabilisateurs
Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $E$, et $x$ un élément de $E$. On appelle :
- orbite de $x$ la partie de E définie par $\textrm{Orb}(x)=\{g\cdot x;\ g\in G\}$.
- stabilisateur de $x$ la partie de $G$ définie par $G_x=\{g\in G;\ g\cdot x=x\}$.
Remarquons que l'ensemble des orbites forme une partition de E, tandis que $G_x$ est un sous-groupe de $G$ pour tout $x\in E$.
D'autre part, si G est fini, l'orbite de x est finie, et on a la relation :
$$\textrm{card}(G)=\textrm{card}(G_x)\times\textrm{card}(\textrm{Orb}(x)).$$
Ceci permet de démontrer la relation suivante, dite équation aux classes : si $E$ et $G$ sont finis,
si $x_1,\dots,x_n$ sont des éléments de $E$ tels que $\textrm{Orb}(x_1),\dots,\textrm{Orb}(x_n)$ soit une liste
des orbites de $E$ sous l'action de $G$, alors on a :
Cette relation très importante intervient dans la résolution de quantités de problèmes. Par exemple, on peut citer le théorème
de Lagrange (le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe), ou le fait qu'un groupe d'ordre $p^n$, où
p est premier, admet un centre non-trivial.
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