$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Matrice résolvante - opérateur résolvant

Résolvante d'une matrice
  Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Pour tout $\lambda\in\mathbb C$ qui n'est pas une valeur propre de $A$, on appelle résolvante de $A$ en $\lambda$ la matrice $$R(\lambda,A)=(\lambda I-A)^{-1}.$$ L'ensemble résolvant est la partie de $\mathbb C$ sur lequel la résolvante est définie. Autrement dit, l'ensemble résolvant est le complémentaire du spectre de $A$.
Résolvante d'une application linéaire
  On considère $X'(t)=A(t)X(t)$ un système différentiel linéaire homogène, où $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une fonction continue définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ et où on cherche une solution $X:I\to\mathbb R^n$.
Théorème : Soit $t_0\in I$. On appelle matrice résolvante (ou opérateur résolvant) en $t_0$ du système l'unique solution du système différentiel défini sur $I$ par $$R'(t)=A(t)R(t),\ R(t_0)=I_n$$ où $R:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$. On la note $R(t;t_0)$.

  Il s'agit donc de résoudre un système qui a la même matrice que le système précédent, mais on cherche cette fois non un vecteur solution, mais une matrice solution.

  La matrice résolvante vérifie les propriétés suivantes :

  • Pour tout $t_1,t_2,t_3\in I$, on a $R(t_0;t_1)R(t_1;t_2)=R(t_0;t_2)$;
  • Pour tout $t_0,t_1\in I$, la matrice $R(t_0;t_1)$ est inversible, et $R(t_0;t_1)^{-1}=R(t_1;t_0)$;
  • L'unique solution $X$ du problème $$\left\{ \begin{array}{rcl} X'(t)&=&A(t)X(t)\\ X(t_0)&=&X_0 \end{array}\right.$$
est donnée par $X(t)=R(t;t_0)X_0$.