$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Groupe opérant sur un ensemble

Soit $G$ un groupe et $X$ un ensemble. On appelle action (ou opération) de $G$ sur $X$ toute application de $G\times X$ dans $X$, qui à un couple $(g,x)\in G\times X$ associe un élément $g\cdot x$ de $X$, telle que :

  • Pour tout $x$ de $X$, $e\cdot x=x$ (où $e$ désigne l'élément neutre de $G$).
  • Pour tous $g,h$ de $G$ et tout $x\in X$, $g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$.

Cette définition est équivalente à la donnée d'un morphisme de groupes $\phi$ de $G$ dans le groupe des bijections de $X$, ces deux définitions étant liées par $g\cdot x = (\phi(g))(x)$ pour tout $g$ dans $G$ et tout $x$ dans $X$.

L'action est dite

  • fidèle si, étant donné $g\in G$ tel que $g\cdot x=x$ pour tout $x$ de $X$, alors $g=e$ (c'est-à-dire si l'intersection de tous les stabilisateurs est réduite à l'élément neutre). Ceci revient à dire que le morphisme $\phi$ introduit ci-dessus est injectif.
  • libre si, étant donnés $g\in G$ et $x\in X$ avec $g\neq e$, on a $g\cdot x\neq x$ (c'est-à-dire que le stabilisateur de tout élément est réduit au neutre). Une action libre est toujours fidèle.
  • transitive si, pour tous $x$ et $y$ de $X$, il existe $g$ de $G$ tel que $g\cdot x=y$. Une action est donc transitive si et seulement si elle possède une unique orbite, qui est alors nécessairement égale à $X.$
  • simplement transitive si elle est à la fois libre et transitive. Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un et un seul élément du groupe : $$\forall (x,y)\in X^2,\ \exists ! g\in G,\ y=g\cdot x.$$ Une action fidèle et transitive d'un groupe abélien est simplement transitive. Une action transitive d'un groupe fini $G$ sur un ensemble $X$ est simplement transitive si et seulement si $G$ et $X$ ont même cardinal.

Exemples :

  • On peut faire opérer un groupe $G$ sur lui-même par :
    • translation à gauche : $g\cdot x=gx$;
    • automorphisme intérieur : $g\cdot x=gxg^{-1}$.
  • Si $s$ est une permutation de $\{1,...,n\},$ et $G$ est sous-groupe de $S_n$ engendré par $s,$ alors $G$ opère sur $\{1,...,n\}$ par : $s^k\cdot i=s^k(i)$.

La notion d'action de groupe est FONDAMENTALE en algèbre. Elle permet :

  • de résoudre des problèmes combinatoires (comme prouver que le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe).
  • de classer des objets : décomposition d'une permutation en produits de cycles à supports disjoints, classification des isométries de l'espace en fonction de leurs invariants.
  • de construire de nouveaux objets (définition abstraite des espaces affines, des angles orientés...)
  • de résoudre quantité d'autres problèmes (déterminer l'ensemble des isométries laissant invariant un cube...)
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