$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe opérant sur un ensemble

  Soit G un groupe et E un ensemble. On appelle action (ou opération) de G sur E toute application de G×E dans E, qui à un couple (g,e) associe g.e, telle que :
  • Pour tout x de E, e.x=x (e désignant l'élément neutre de G).
  • Pour tous g,h de G, g.(h.x)=(gh).x
L'action est dite
  • fidèle si, étant donné un g de G, on a g.x=x pour tout x de E, alors g=e.
  • transitive si, étant donnés x et y de E, il existe g de G tel que g.x=y.

Ex :
  • On peut faire opérer un groupe G sur lui-même par :
    • translation à gauche : g.x=gx
    • automorphisme intérieur : g.x=gxg-1
  • Si s est une permutation de {1,...,n}, et G est sous-groupe de Sn engendré par s, alors G opère sur {1,...,n} par : sk.i=sk(i).
  La notion d'action de groupe est FONDAMENTALE en algèbre. Elle permet :
  • de résoudre des problèmes combinatoires (comme prouver que le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe).
  • de classer des objets : décomposition d'une permutation en produits de cycles à supports disjoints, classification des isométries de l'espace en fonction de leurs invariants.
  • de construire de nouveaux objets (définition abstraite des espaces affines, des angles orientés...)
  • de résoudre quantité d'autres problèmes (déterminer l'ensemble des isométries laissant invariant un cube...)
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