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Opérations élémentaires

On considère un système linéaire d'équations. On appelle opération élémentaire sur ce système l'une des opérations suivantes :

  • ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.
  • multiplier une ligne par une constante non nulle.
  • échanger deux lignes.

Ces opérations transforment le système en un système équivalent, c'est-à-dire en un système admettant les mêmes solutions. Ce sont elles que l'on utilise lorsqu'on veut utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système.

Les opérations élémentaires pour une matrice sont les opérations suivantes :

  • ajouter à une ligne (respectivement, à une colonne) un multiple d'une autre ligne (resp. d'une autre colonne).
  • multiplier une ligne (resp. une colonne) par une constante non nulle.
  • échanger deux lignes (deux colonnes).

Le rang de la matrice est inchangée par ces opérations élémentaires.

Effectuer une opération élémentaire sur une matrice revient à multiplier cette matrice à gauche (pour les opérations sur les lignes) ou à droite (pour les opérations sur les colonnes) par respectivement :

  • une matrice de transvection,
  • une matrice de dilatation,
  • une matrice de transposition.
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