$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Opérateur différentiel

  On appelle opérateur différentiel linéaire d'ordre (inférieur ou égal à) q toute application linéaire
de Ck(U,Rp) dans C0(U,Rp) où U est un ouvert de Rn et les sont des fonction continues sur U. On note en général l'opérateur
Par le théorème de Schwarz, il peut encore s'écrire

Exemples :
  • opérateur d'Euler
    Il intervient notamment dans l'étude des applications positivement homogènes.
  • opérateur de Riemann
    Une fonction f de classe C1 sur un ouvert U de R2 vérifiant Rf=0 est en fait dérivable par rapport à la variable complexe et donc analytique. En particulier, elle est automatiquement indéfiniment dérivable.
  • laplacien sur Rn
    Les solutions de sont les fonctions harmoniques.
  • d'Alembertien sur Rn+1=Rn×R
    L'équation s'appelle l'équation des ondes.
  • opérateur de la chaleur ou opérateur de diffusion
    L'équation Ff=0 s'appelle équation de la chaleur.