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Théorème des zéros de Hilbert

  Il s'agit d'un théorème très profond qui relie les zéros d'un polynôme avec le fait d'appartenir à un idéal.
Théorème : Soit K un corps algébriquement clos (par exemple, C), et I un idéal de K[X1,...,Xn]. On note V(I) l'ensemble des zéros communs des éléments de I, c'est-à-dire
V(I)={(x1,...,xn) de Kn, Q(x1,...,xn)=0 pour tout Q de I}
Alors, si P(x1,...,xn)=0 pour tout (x1,...,xn) de V(I), il existe un entier naturel q tel que Pq appartienne à I.

  Un des corollaires de ce théorème est que si I est un idéal propre de K[X], alors V(I) est non vide (et donx tous les polynômes de I ont un zéro commun, ce qui explique le nom du théorème, baptisé Nullstellensatz en Allemand). Sinon, 1=1q serait dans I, ce qui est impossible si I est propre! L'exemple de l'idéal I engendré par X2+1 dans R[X] montre que le fait que le corps soit algébriquement clos est très important. Une version réelle est la suivante : si P(x)=0 dès que Q(x)=0, alors il existe un entier q et un polynôme S qui est une somme de carrés telle que Pq+S appartienne à l'idéal engendré par Q.
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