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Partie nulle part dense

Définition : Soit $X$ un espace topologique et $A$ une partie de X. On dit que $A$ est nulle part dense si elle vérifie les conditions équivalentes suivantes :
  • l'intérieur de l'adhérence de $A$ est vide ;
  • pour tout ouvert $U$ non vide de $X$, il existe un ouvert $V$ non vide inclus dans $U$ et disjoint de $A$;
  • pour tout ouvert $U$ non vide de $X$, $A\cap U$ n'est pas dense dans $U$.

Une telle partie A est également qualifiée de rare.

  La notion de partie nulle part dense est souvent liée au théorème de Baire, qui affirme que, dans un espace métrique complet, la réunion dénombrable d'ensembles nulle part dense (on parle d'ensemble maigre) est d'intérieur vide. En revanche, une telle partie peut être dense (par exemple, $\mathbb Q$ est un ensemble maigre de $\mathbb R$ comme réunion dénombrable de singletons qui sont tous nulle part dense, mais $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$).
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