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Bibm@th

Théorème de décomposition des noyaux

Théorème (lemme des noyaux) : Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $u$ un endomorphisme de $E$, et $P=P_1\cdots P_r$ un polynôme de $\mathbb K[X]$ tel que les polynômes $P_i$ soient premiers entre eux deux à deux. Alors : $$\ker P(u)=\ker P_1(u)\oplus \cdots\oplus \ker P_r(u).$$ De plus, la projection $p_i$ sur $\ker(P_i(u))$ parallèlement à $\oplus_{j\neq i}\ker(P_j(u))$ est un polynôme en $u.$

Ce théorème est une jolie application du théorème de Bézout. Il est le point de départ de nombreux théorèmes de réduction des endomorphismes.

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