$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Norme, etc...

Définition d'une norme
  Soit E un espace vectoriel sur K=R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant les conditions suivantes pour tout x,y dans E :

  1. N(x)=0 si et seulement si x=0.
  2. N(x+y)N(x)+N(y)
  3. pour tout k dans K, N(kx)=|k|N(x).

La deuxième relation s'appelle l'inégalité triangulaire. L'espace E, muni de la norme N, s'appelle espace vectoriel normé.

Normes équivalentes
Soit E un espace vectoriel que l'on munit de deux normes N et N'. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes a et b telles que :

Pour tout x de E, on ait : aN(x)N'(x)bN(x).

Par exemple, les normes produits sur un espace normé telles qu'elles sont définies ci-après sont équivalentes. En revanche, si E=C([0,1],R), les normes suivantes ne sont pas équivalentes :
L'idée est que si f est grand sur un intervalle petit, la norme infinie de f sera grande alors que la norme 1 de f restera raisonnable. Plus précisément on peut considérer la suite de fonctions suivante :

La norme 1 de fn vaut 1, tandis que sa norme infinie vaut n. L'intérêt des normes équivalentes est qu'elles définissent la même topologie sur un espace normé : mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes suites convergentes...

Norme matricielle
Si E a une structure d'algèbre, par exemple E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur R, une norme matricielle N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si A et B sont des éléments de E, on souhaite avoir l'inégalité :

N(AB)N(A)N(B)

Norme produit
Soient E1,...,En des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit E=E1*...*En l'une des normes suivantes (on a posé x=(x1,...,xn)) :
En outre, ces normes vérifient l'inégalité suivante :

Autrement dit, elles sont équivalentes et définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie produit de E1×...×En.