$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Extension normale

Soit $K$ un corps et $L$ une extension algébrique de $K$. On dit que $L$ est une extension normale de $K$ lorsque, chaque fois qu'un polynôme $P$ irréductible de $K[X]$ a au moins une racine dans $L$, il est scindé sur $L$.

Exemple :

  • $K$ est une extension normale de lui-même.
  • La clôture algébrique de $K$ est une extension normale de $K$.
  • Le polynôme $P(X)=X^3-2$ est irréductible. Soit $K=\mathbb Q$ et $L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$. Alors $P$ a une racine dans $L$ mais n'a pas toutes ses racines dans $L$ (puisque $L\subset\mathbb R$ et que $P$ admet deux racines qui ne sont pas réelles). Ainsi, $L$ n'est pas une extension normale de $K.$
  • Toute extension quadratique est une extension normale.
Théorème : Soit $K$ un corps et $L$ une extension algébrique de $K$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $L$ est une extension normale de $K$.
  • $L$ est le corps de décomposition d'une famille de polynômes de $K[X]$.
  • tout $K$-morphisme de corps de $L$ à valeurs dans une clôture algébrique de $K$ contenant $L$ est un automorphisme de $L.$
  • les conjugués sur $K$ de tout élément de $L$ dans une clôture algébrique de $L$ appartiennent encore à $L.$
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