$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Nombre normal

  Un nombre est dit nombre normal en base b si dans son écriture dans cette base, toutes les suites finies de n chiffres sont équiprobables. Précisément, le nombre x dont l'écriture en base b est
est un nombre normal lorsque, pour tout suite de n chiffres (chaque ci est donc un élément de {0,...,b-1}, pour toute suite de n chiffres consécutifs pris au hasard dans l'écriture en base b de x, alors la probabilité que ces deux suites sont égales vaut .

  Un nombre est dit nombre normal si c'est un nombre normal en toute base b.

  Le plus facile des nombres normaux en base 10 est le nombre de Champernowne dont le développement décimal est constitué de la suite des entiers naturels juxtaposés dans l'ordre. Précisément, on a
En revanche, le nombre de Champernowne n'est pas normal dans d'autres bases.

  L'existence de nombres normaux en toute base est connue depuis E. Borel en 1907 : il démontre que, au sens de la mesure de Lebesgue, presque tout nombre est normal. Pourtant, il faut attendre 1917 et W. Sierpinski pour obtenir un premier exemple explicite de nombre normal. Et on ne sait pas encore si e,pi,ln(2), racine de 2, sont des nombres normaux ou non!
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