$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Endomorphisme normal

Définition : Soit $E$ un espace vectoriel euclidien ou hermitien, et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que u est normal si $u$ et $u^*$ commutent, c'est-à-dire si $uu^*=u^*u$.

Les endomorphismes normaux ont de bonnes propriétés de diagonalisation dans des bases orthonormées.

Cas réel :
Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est normal si et seulement si il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice diagonale par blocs :
  • de taille 1;
  • ou de taille 2 de la forme
Cas complexe :
Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $u$ est normal si et seulement si il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique