$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Nombres triangulaires

  Les nombres triangulaires sont des nombres figurés qui comptent par exemple des empilements. Le $n$-ième nombre triangulaire $T_n$ est défini de la façon suivante : sur une droite, on dispose n oranges. On empile d'autres oranges au-dessus des premières. Nécessairement, on en empile une de moins. Et on continue ainsi, rangée par rangée, disposant successivement $n-2$, $n-3$,…,1 oranges, comme sur la figure ci-dessous :
  Le nombre triangulaire $T_n$ est donc la somme des $n$ premiers entiers : $$T_n=1+2+\dots+(n-1)+n.$$ En vertu d'une formule bien connue, on a donc $$T_n=\frac{n(n+1)}2.$$   Les nombres triangulaires peuvent également s'interpréter comme des nombres polygonaux, dont la construction est réalisée à partir de triangles équilatéraux. On construit successivement les figures suivantes :
  • La première figure consiste en un seul point et $T_1=1$.
  • La deuxième figure consiste en un triangle équilatéral de côté 1cm dont un sommet est le point précédent. Le nombre pentagonal $T_2$ compte le nombre de sommets de ce polygone, à savoir $T_2=3$.
  • La troisième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un triangle équilatéral de côté 2cm dont deux côtés sont communs avec le triangle équilatéral précédent. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre triangle équilatéral $T_3$ est le nombre de points marqués, à savoir $T_3=6$.
  • La quatrième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un pentagone régulier de côté 3cm dont deux côtés sont communs avec les triangle équilatéraaux précédents. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre triangle équilatéral $T_4$ est le nombre de points marqués, à savoir $T_4=10$.
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