$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Nombres pentagonaux

  Les nombres pentagonaux sont des nombres figurés dont la construction est réalisée à partir de pentagones réguliers. On construit successivement les figures suivantes :
  • La première figure consiste en un seul point et $P_1=1$.
  • La deuxième figure consiste en un pentagone régulier de côté 1cm dont un sommet est le point précédent. Le nombre pentagonal $P_2$ compte le nombre de sommets de ce polygone, à savoir $P_2=5$.
  • La troisième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un pentagone régulier de côté 2cm dont deux côtés sont communs avec le pentagone précédent. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre pentagonal $P_3$ est le nombre de points marqués, à savoir $P_3=12$.
  • La quatrième figure consiste, à partir de la figure précédente, à construire un pentagone régulier de côté 3cm dont deux côtés sont communs avec les pentagones précédents. Sur chaque côté, on place un point tous les cm. Le nombre pentagonal $P_4$ est le nombre de points marqués, à savoir $P_3=22$.
Théorème : Le $n$-ième nombre pentagonal $P_n$ est égal à $$P_n=\frac{3n^2-n}2.$$
  Une façon de prouver ce résultat est de remarquer que la suite $(P_n)$ vérifie la relation de récurrence $$P_{n+1}=P_n+(3n+1).$$ La suite $(u_n)$ définie par $u_n=P_{n+1}-P_n$ est alors une suite arithmétique (de raison 3), et par les formules habituelles, il est facile de calculer $u_1+\dots+u_{n-1}$. Mais, $$u_1+\dots+u_{n-1}=P_n.$$
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