$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Le nombre d'or

  Le nombre d'or est le nombre irrationnel :
c'est-à-dire à peu près 1,6180339... C'est une des deux racines (la plus grande) de l'équation x2-x-1=0. Exprimé comme cela, c'est bien peu de choses pour un nombre qui a acquis, bien au-delà de son intérêt mathématique propre, une dimension architecturale, poétique voire même mystique! Nous vous invitons à un petit voyage au pays des propriétés du nombre d'or, le joyau de la géométrie selon Képler.

Division en moyenne et extrême raison - section dorée
  On appelle division en moyenne et extrême raison la division d'un segment AB par un point intérieur P tel que AB/AP=AP/PB. On dit encore que P est la section dorée du segment AB. Remarquons aussi que AP est la moyenne géométrique de AB et de PB. On peut vérifier que cette condition impose que les rapports AB/AP et AP/PB soient égaux au nombre d'or. On dit souvent que pour l'oeil, la division en moyenne et extrême raison est la plus agréable. Ceci rend le nombre d'or très important en architecture. Jugez sur le dessin ci-dessous.

Rectangle de divine proportion
  Soit un rectangle de longueur L, de largeur c. Otons lui un carré de côté c :
Le rectangle est dit de divine proportion si pour ce rectangle comme pour le rectangle qu'il reste une fois le carré ôté, le rapport entre longueur et largeur est le même. On démontre que ce rapport ne peut alors être que le nombre d'or! Autrement dit :
On dit que le Parthénon d'Athènes est a peu près inscriptible dans un rectangle de divine proportion.

Le nombre d'or, et la prolifération des lapins
  La prolifération des lapins a été étudiée par le mathématicien italien Léonard de Pise, dit Fibonacci, au Moyen-Age. Ses recherches étaient fondées sur les hypothèses simplificatrices suivantes :
  • Au départ (génération 1), il y a un unique couple de lapins.
  • Ce couple de lapins ne procrée pas à la deuxième génération, mais il engendre à partir de la troisième génération, et à chaque génération, un autre couple de lapins.
  • Chaque couple ainsi engendré se comporte de la même façon que le premier couple : la première génération après sa naissance, il ne procrée pas, puis à chaque génération, il engendre un nouveau couple.
  Quel est le nombre de lapins à la n-ième génération??? On note un ce nombre. On a les relation suivantes :
On peut facilement prouver que le rapport un/un-1 tend vers le nombre d'or, c'est-à-dire que pour n grand, d'une génération à l'autre, on multiplie le nombre de lapins par à peu près le nombre d'or! Les premiers termes de la suite sont 1,1,2,3,5,8,13,21,44,... Ce sont des nombres que l'on voit souvent apparaître dans la nature, par exemple quand on étudie le nombre de pétales d'une fleur ou les courbes tracées par les graines de tournesol.

Le nombre d'or, et la géométrie des polygones réguliers
  • Le pentagone régulier et le pentagramme :
      Dans un cercle, on peut inscrire deux pentagones réguliers : un pentagone régulier convexe (en rouge sur le dessin), et un pentagone régulier étoilé (en bleu).
    On peut montrer que le rapport du côté du pentagone étoilé au côté du pentagone convexe est égal au nombre d'or. Le pentagone régulier étoilé - qu'on appelle aussi pentagrammeétait le symbole des Pythagoriciens.
  • Le décagone régulier :
      Dans un cercle, on peut inscrire deux décagones réguliers, le décagone régulier convexe et le décagone régulier étoilé.
    Le rapport du côté du décagone étoilé au rayon du cercle est égal au rapport du rayon du cercle par le côté du décagone convexe et est égal au nombre d'or!

Expressions algébriques du nombre d'or
  Terminons par deux expressions du nombre d'or, presque aussi jolies que le nombre lui-même...
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