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Equations de Navier-Stokes

  Les équations de Navier-Stokes sont un système d'équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans un milieu continu. Ces équations sont :
où :
  • u(x,t) est la vitesse en x de Rn à l'instant t>0;
  • p(x,t) est la pression en x de Rn à l'instant t>0;
  • est le coefficient de viscosité du fluide;
  • les fi(x,t) sont les composantes d'une force extérieure (par exemple, la gravité) appliquée au fluide.
  • u0 est une fonction de divergence nulle.
  L'équation (1) est simplement l'expression de la loi de Newton pour un fluide soumis à une force externe et aux forces issues de la pression et des frottements. L'équation (2) signifie que le fluide est incompressible. L'équation (3) est la condition initiale.

  Ces équations aux dérivées partielles sont extrêmement difficiles à résoudre dans l'espace (pour n=3). Ainsi, même si f est nul, on ne sait pas s'il existe pour toute donnée initale u0 des fonctions solutions (p,u) définies pout tout t>0 qui sont de classe et telles que l'énergie soit bornée, c'est-à-dire
  C'est un problème si difficile à résoudre et si important (car ses équations gouvernent l'écoulement de l'eau dans un tuyau, les courants océaniques, les mouvements de l'air dans l'atmosphère) qu'il a été choisi en l'an 2000 par l'institut Clay comme l'un des sept problèmes du millénaire. Sa résolution vaut 1 million de dollars...
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