$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Multiplicité

Se dit du nombre de valeurs pour lequel une condition donnée est satisfaite.

Exemples :

  • multiplicité d'une racine d'un polynôme : si $a$ est racine du polynôme $P\in\mathbb K[X]$, $P\neq 0$, sa multiplicité est le plus grand entier $n$ pour lequel on peut écrire $P(X)=(X-a)^n Q(X)$ avec $Q$ un polynôme non nul. On a aussi la caractérisation suivante d'une racine de multiplicité $n$ : $a$ est racine de $P$ de multiplicité $n$ si, et seulement si, on a $P(a)=P'(a)=...=P^{(n-1)}(a)=0$ et $P^{(n)}(a)\neq 0$.
  • multiplicité géométrique d'une valeur propre : si $u$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $E$ et si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, la multiplicité géométrique de $\lambda$ désigne la dimension du sous-espace propre associé.
  • multiplicité algébrique d'une valeur propre : si $u$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $E$ et si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, la multiplicité algébrique de $\lambda$ désigne la multiplicité de $\lambda$ comme racine du polynôme caractéristique de $u$. C'est aussi la dimension du sous-espace caractéristique associé à $\lambda.$
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