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Formes multilinéaires

Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$, et $f$ une application de $E^p$ dans $\mathbb K$. On dit que $f$ est une forme $p$-linéaire, si, pour tout $i$ dans $\{1,\dots,p\}$, pour tous vecteurs $u_1,\dots,u_p\in E$, les applications partielles : $$ \begin{array}{rcl} E&\to&\mathbb K\\ x&\mapsto&f(u_1,\dots,u_{i-1},x,u_{i+1},\dots,u_p) \end{array}$$ sont linéaires.
En particulier, une forme 1-linéaire est une forme linéaire.

  On dit qu'une forme multilinéaire est :
  • alternée si $f(x_1,\dots,x_p)=0$ dès que deux vecteurs parmi les $x_i$ sont égaux.
  • antisymétrique si l'échange de deux vecteurs dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ donne à $f$ des valeurs opposées.
  • symétrique si toute permutation dans la suite $(x_1,\dots,x_p)$ ne change pas la valeur de $f$.
En fait, on prouve assez facilement qu'être une forme multilinéaire alternée ou une forme multilinéaire antisymétrique est la même chose.

  Les formes multilinéaires sont importantes pour donner une définition théorique du déterminant :
Théorème : L'ensemble des formes $n$-linéaires alternées sur un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est de dimension 1. En outre, si $\mathcal B$ est une base donnée de $E$, il existe une et une seule forme $n$-linéaire alternée prenant la valeur 1 sur $\mathcal B$. On l'appelle déterminant dans la base $\mathcal B$.
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