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Fonctions multiformes et surfaces de Riemann

  En général, la définition d'une fonction fait qu'à une valeur de la variable correspond une seule valeur de la fonction. Dans certains cas, cela n'est pas très naturel. Prenons la fonction définie, sur l'ensemble des complexes C, par f2(z)=z.
Si z est non nul, il existe deux valeurs possibles pour f(z), et il n'y a pas de raison de préférer l'une à l'autre. On dit que la fonction f est multiforme : à une valeur de la variable correspond plusieurs images.

  Les calculs faisant intervenir des fonctions multiformes sont parfois lourds et compliqués. Riemann a l'idée de transformer les fonctions multiformes en fonctions uniformes (un point n'a qu'une seule image), en modifiant le domaine de définition. Il recolle pour cela continûment plusieurs représentations du domaine de définition, les feuillets, et obtient le concept de surface de Riemann.