$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Diverses moyennes

  Lorsqu'on a des données d'un même type, on est souvent amené à calculer leur moyenne. Mais contrairement à ce que l'on pense parfois, il n'existe pas qu'un seul type de moyenne. Les mathématiques nous fournissent 3 types de moyenne que l'on rencontre dans la vie courante :
  • La moyenne arithmétique : c'est la moyenne usuelle! La moyenne arithmétique de x1,...,xn est la somme de ces termes divisée par leur nombre :
    C'est par exemple la moyenne que calcule un prof à partir des notes des élèves...
  • La moyenne géométrique : c'est la racine n-ième du produit des différentes valeurs :
    Voici un exemple d'application de cette moyenne : on suppose qu'à l'issue d'une manifestation, la police annonce 10000 manifestants, et les organisateurs 100000. Quel est le nombre de manifestants?? La première idée est de prendre la moyenne arithmétique : on trouverait alors 55000 personnes. Mais ceci surestime l'importance du chiffre donné par les organisateurs par rapport au chiffre de la police. Si cette dernière annonçait 1000 manifestants, on trouverait 50500, ce qui ne change pas grand chose....
    Une meilleure idée est de se dire que les organisateurs et la police trichent de la même façon : si x est le nombre de manifestants réel, alors si les organisateurs annoncent 2 fois plus de manifestants, la police en annonce 2 fois moins, etc... Si x est le nombre réel de manifestants, et k le coefficent multiplicateur, la police annonce x/k manifestants, et les organisateurs kx. Prenons la moyenne géométrique du chiffre annoncé par les organisateurs et par les manifestants : on trouve exacement x. Une meilleure approximation que la moyenne arithmétique semble donc être pour notre problème la moyenne géométrique. Avec nos valeurs, on trouve environ 31600 personnes. Ce sont les organisateurs qui ne vont pas être contents!
  • La moyenne harmonique : c'est l'inverse de la moyenne arithétique de l'inverse des xi! Concrètement :
    Prenons un exemple frappant pour illustrer l'intérêt de la moyenne harmonique. Supposons que vous faites une balade à vélo : vous commencez par escalader une côte de 1km à 20km/h, puis vous redescendez cette même côte à 30km/h. Quelle est votre vitesse moyenne??? Vous avez répondu 25?? Faux!!! Soit v la vitesse moyenne, t le temps total mis, on v=2/t. En inversant, 2/v=t. Mais t=t1+t2, où t1 est le temps mis pour monter, et t2 le temps mis pour descendre. On a t1=1/v1, et t2=1/v2, où v1 (resp. v2) est la vitesse pour monter (resp. pour descendre) (ceci car vitesse=distance/temps). Et donc : 2/v=1/v1+1/v2. La vitesse moyenne est la moyenne harmonique des deux vitesses!
  La moyenne calculée par les professeurs n'est pas tout à fait une des moyennes précédentes, puisqu'en général toutes les notes n'ont pas le même poids et sont affectées d'un certain coefficient. Si x1,...,xn sont des réels, et a1,...,an sont des nombres strictement positifs, on appelle moyenne pondérée des xi muni des poids ai la quantité :
  Il existe encore d'autres types de moyennes, dont l'usage est plus interne aux mathématiques ou aux statistiques :
  • La moyenne quadratique : elle intervient notamment dans le calcul de l'écart-type.
  • La moyenne arithmético-géométrique : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on peut définir deux suites récurrentes un et vn par u0=a, v0=b, et un+1 est la moyenne arithmétique de un et vn, vn+1 est la moyenne géométrique de un et vn. On peut prouver que ces deux suites sont adjacentes et convergent vers la même limite l, qui est la moyenne arithmético-géométrique de a et b. Cette moyenne intervient notamment dans le calcul du périmètre d'une ellipse...