Lemme de Morse

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

Théorème : Soit f une fonction de classe définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans R vérifiant f(0)=0 et df0=0. On suppose que la matrice hessienne de f en 0 définie par
est inversible. Alors il existe un -difféomorphisme u=(u1,...,un) défini sur un voisinage V de 0 et un entier r tel que, pour tout x de V, on a
r est tel que la signature de la forme quadratique associée à H soit (r,n-r).

Ce résultat exprime que, localement autour de 0, à un changement de coordonnées près, le graphe de f est celui d'une forme quadratique. Si la fonction est de classe Ck, k>2, on obtient que le difféomorphisme est de classe Ck-2.

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