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Morphisme de groupe

  Parmi les applications d'un groupe G dans un groupe G', certaines sont plus importantes que d'autres : ce sont celles qui respectent la structure de groupe.

Définition : Soit f une application de G dans G'; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous x et y de G, on a :
f(x×y)=f(x)×f(y)

Ceci signifie la chose suivante : si on prend deux éléments x et y du groupe de départ, on peut :
  • ou calculer d'abord x×y, puis appliquer f,
  • ou calculer individuellement f(x) et f(y), puis calculer le produit f(x)× f(y),
on doit trouver le même résultat.

  Donnons quelques définitions relatives aux morphismes de groupes, et qui peuvent aussi s'appliquer à d'autres types de morphismes :
  • f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f-1 est un morphisme de groupes.
  • f est un automorphisme de groupes si f est un isomorphisme et si G=G' (même groupe au départ et à l'arrivée).
  • Le noyau de f, noté Ker f, est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G'. Ker f est un sous-groupe de G, et on prouve que f est injective si et seulement si Ker f={1G}.
  • L'image de f est Im(f)={y; il existe x de G tel que y=f(x)}. Im(f) est un sous-groupe de G'.
  • Le conoyau de f est le groupe quotient G/Ker(f). f induit alors un isomorphisme de groupe de G/Ker(f) sur Im(f).