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Conjecture de Mordell

  En théorie des nombres, la conjecture de Mordell est un résultat important concernant le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Donnons-nous une courbe algébrique C, à coefficients rationneles, ie une courbe donnée par une équation de la forme P(x1,...,xn)=0, où P est un polynôme à coefficients rationnels. On se demande combien de points (x1,...,xn) où toutes les coordonnées xi sont des nombres rationnels sont sur la courbe. Comme souvent en théorie des nombres, sous l'hypothèse que la courbe n'est pas trop particulière, la réponse dépend du genre de la courbe :
  • s'il vaut 0, aucun point, ou une infinité.
  • s'il vaut 1, aucun point, ou alors C est une courbe elliptique dont l'ensemble des points rationnels forme un groupe abélien. En 1920, Mordell a démontré que ce groupe était finiment engendré.
  • s'il est plus grand que 2, la réponse fut plus compliquée à obtenir. Dans le même article que celui où il traite le cas du genre 1, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points si le genre est supérieur ou égal à 2. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.
  Une application importante est la suivante : l'équation de Fermat xn+yn=zn correspond à une courbe de genre (n-1)(n-2)/2. Ainsi, pour n supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions. Ce fut une des pistes employées par Andrew Wiles en 1993 pour démontrer complètement le grand théorème de Fermat : cette équation n'admet aucune solution non triviale dès que n est supérieur ou égal à 3.
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