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Méthode de Monte-Carlo


  On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique, et utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes.. Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces,des volumes, etc....)

  Voici une application de la méthode de Monte-Carlo au calcul de pi! Supposons que vous ayez un carré, disons de côté 2. Son aire est 4. A l'intérieur de ce carré, on inscrit un disque, de centre le centre du carré, et de rayon 1. L'aire de ce disque est . Si l'on choisit au hasard un point du carré, la probabilité pour qu'il soit à l'intérieur du disque est donc de /4. Voici comment nous allons procéder. Nous tirons au hasard un grand nombre de points du carré au hasard. On peut raisonnablement espérer que (nb pts à l'intérieur du disque)/(nb pts tirés) va nous donner une approximation de /4. A vous de jouer!

Qu'en penser???? L'efficacité n'est pas diabolique, il faut beaucoup de tirages au sort pour avoir plus que les deux premiers chiffres. Cela même si la théorie mathématique nous dit qu'avec un nombre infini de tirages, on trouvera pi! Il existe (heureusement!) des méthodes bien plus performantes pour estimer pi, certaines sont basées sur des formules étonnantes de Ramanujan.

Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est produit lors de la 2nde guerre mondiale, lors des recherches sur la fabrication de la bombe atomique, sous l'impulsion de von Neumann et Ulam. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles.
Le dénomination Méthode de Monte-Carlo provient de ce que les meilleures suites de nombres aléatoires sont données par la roulette des casinos...