$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Exemples de groupes >
Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Théorie générale >

Le monstre des mathématiques!!!

Les groupes finis sont des objets très importants en mathématiques, notamment par leurs relations avec les autres domaines des sciences comme la physique ou la chimie. Ces ensembles apparaissent notamment dans l'étude des symétries des cristaux, ou d'espaces de supercordes. Parmi eux, il existe des groupes plus élémentaires, ceux que l'on appelle les groupes finis simples (pour les matheux, sans sous-groupe distingué). Ils jouent un peu le même rôle que les nombres premiers vis-à-vis des entiers.

Dès le XIXè siècle, à la suite de travaux de Jordan et de Hölder, on commençait à se demander si on ne pouvait classer ces groupes simples finis en quelques catégories bien délimitées. Il fallut plus d'un siècle pour réaliser cette entreprise, et l'effort conjoint d'une communauté de plusieurs centaines de mathématiciens. Ce travail a été achevé en 1980, et toutes les démonstrations, mises bout à bout, prennent plusieurs milliers de pages!

Dans cette classification apparaissent seulement quatre types de groupes :

  1. les groupes cycliques d'ordre un nombre premier (ce sont les plus faciles!).
  2. les groupes dit de Chevalley, qui sont en nombre infini (mais dénombrables)!
  3. les groupes dits alternés.
  4. 26 groupes qui n'appartiennent à aucune de ces 3 familles. Ces groupes sont dits sporadiques.

Parmi ces groupes sporadiques, l'un a retenu particulièrement l'attention des mathématiciens, qui l'ont surnommé le monstre. Pourquoi le monstre? En raison de son cardinal spectaculaire. Le monstre comporte 246×320×59×76×17×19×23×29×41×47×9×71=8×1053 éléments. La plus élémentaire façon de représenter ce monstre, c'est de considérer un groupe de matrices de dimension ... 196 883!!! C'est une jolie ironie que ce groupe soit un des groupes simples!

Et la classification de tous les groupes finis alors??? Elle est considérablement plus compliquée, et probablement pas près d'être achevée. Pour le passage au troisième millénaire, les mathématiciens se sont mis un point d'honneur à trouver tous les groupes finis d'ordre plus petit que 2000. Il y en a déjà 50 milliards!

Pour en savoir plus : On pourra lire le numéro spécial Grandes et petites énigmes mathématiques de La Recherche, Octobre 2001.

Consulter aussi...
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives