$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Notations de Monge

Si $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ est une fonction de classe $\mathcal C^2$ et $a$ un point de $\mathbb R^2$, les notations de Monge sont $$p=\frac{\partial f}{\partial x}(a),\ q=\frac{\partial f}{\partial y}(a)$$ $$r=\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}(a),\ s=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a),\ t=\frac{\partial^2 t}{\partial y^2}(a).$$ Ces notations interviennent dans l'étude des extrema locaux des fonctions de deux variables. Si $a$ est un point critique (c'est-à-dire si $p=q=0$), alors on étudie $s^2-rt$ :

  • si $s^2-rt<0$, alors $a$ est un extrémum local.
    • si $r>0$, c'est un minimum local.
    • si $r<0$, c'est un maximum local.
  • si $s^2-rt>0$, alors $a$ n'est pas un extrémum, c'est un point col, ou un point selle.
  • si $s^2-rt=0$, on ne peut pas conclure!
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