$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Moments d'une variable aléatoire - Fonction génératrice des moments

Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle moment d'ordre $k$, s'il existe, le nombre .
Par exemple, l'espérance d'une variable aléatoire est son moment d'ordre 1. Si X est une variable aléatoire discrète, son moment d'ordre k se calcule par la formule :
Si X est une variable aléatoire continue, alors ce même moment se calcule de la façon suivante :

Il existe encore différents types de moments :
  • le moment centré d'ordre $k$ :
    La variance d'une variable aléatoire est donc son moment centré d'ordre 2.
  • le moment factoriel d'ordre $k$ :
Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle fonction génératrice des moments la fonction :
  La terminologie fonction génératrice des moments est bien appropriée. Si cette fonction est définie dans un voisinage de l'origine, alors :
  1. $X$ admet des moments de tous les ordres (entiers positifs).
  2. $g$ est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et son développement est : $$g(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(X^k)}{k!}t^k.$$ En particulier, le moment d'ordre $k$ $E(X^k)$ est égal à $g^{(k)}(0)$.
Réciproquement, si la série $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(|X|^k)}{k!}t_0^k$$ converge, alors $X$ admet une fonction génératrice des moments définie au moins sur $]-t_0,t_0[$.

  De plus, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires ont même fonction génératrice des moments définie sur un intervalle ouvert contenant $0$, alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Les moments font partie des caractères de dispersion d'une variable aléatoire.
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