$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonction et formule d'inversion de Möbius

Définition : La fonction de Möbius $\mu$ est la fonction définie sur les entiers supérieurs ou égaux à $1$ par
  • $\mu(1)=1$;
  • si $n$ a un facteur carré, alors $\mu(n)=0$;
  • si $n$ est le premier de nombres premiers tous distincts, $n=p_1\cdots p_k$, alors $\mu(n)=(-1)^k$.
Ainsi, $\mu(2)=-1$, $\mu(4)=0$, $\mu(6)=3$. La fonction $\mu$ vérifie la propriété suivante : $$\forall n>1,\ \sum_{d|n}\mu(d)=0.$$   La fonction de Möbius intervient notamment dans l'inversion de fonctions arithmétiques ou de séries de Dirichlet. Ceci est dû à la formule suivante :
Formule d'inversion de Möbius : Soit $f:\mathbb N^*\to\mathbb C$ et posons, pour $n\geq 1$, $$g(n)=\sum_{d|n}f(d).$$ Alors $$f(d)=\sum_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)g(d).$$
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