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Bibm@th

Problèmes du millénaire

  En septembre 1998, Landon T. Clay, un homme d'affaire américain, richissime et philantrope, et croyant en la valeur centrale pour l'homme des progrès mathématiques, fonde l'institut de Mathématiques Clay, dont le but est de disséminer et d'améliorer les connaissances mathématiques. A la tête de cet institut, le comité scientifique composé d'Alain Connes, Arthur Jaffe, Edward Witten et Andrew Wiles décide d'élaboler une petite liste de problèmes.

  Il ne s'agit pas, comme Hilbert l'a fait un siècle plus tôt, de définir de nouveaux challenges pour les mathématiciens. Il s'agit plutôt d'identifier des problèmes bien connus de la communauté mathématique, mais très difficiles et dont la résolution aurait une importance très grande à la fois pour les mathématiciens et aussi parfois pour les autres sciences. Une sorte "d'Everest des mathématiques" donc...

  Cette liste de problèmes fut annoncée le 24 mai 2000 à Paris, au Collège de France. Chaque problème est accompagné d'un prix d'un million de dollars pour sa résolution. Voici une description très courte de ses sept problèmes. On trouvera une explication plus détaillée dans l'article correspondant à chaque problème :
  • Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : elle concerne le nombre de solutions en entiers naturels de certaines équations algébriques.
  • Equations de Navier-Stokes : ces équations régissent le mouvement des fluides dans un milieu continu (par exemple, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, les courants océaniques, les mouvements de l'air dans l'atmosphère...). Ces équations sont si difficiles à résoudre que l'on ne sait pas si elles possèdent toujours une solution "physiquement raisonnable". Le prouver est l'objet du problème.
  • P=NP? : Certains calculs sur un ordinateur semblent plus difficiles et plus longs que d'autres. Mais le sont-ils vraiment ou est-ce parce que l'on n'a pas trouvé le bon algorithme? C'est l'objet de ce problème.
  • Conjecture de Poincaré : on peut classer les surfaces de l'espace suivant leurs propriétés. Par exemple, une balle et un beignet sont dans deux classes différentes, car il y a un trou au milieu du beignet. La conjecture de Poincaré étudie le même problème en dimension supérieure.
  • Hypothèse de Riemann : de nombreuses propriétés des nombres premiers dépendent des seuls zéros d'une fonction, la fonction Zêta de Riemann. L'hypothèse de Riemann concerne la localisation de ces zéros.
  • Théorie de Yang-Mills : il s'agit d'obtenir les fondements mathématiques d'une des propriétés les plus importantes et les plus subtiles de la mécanique quantique.
  • Conjecture de Hodge : c'est le problème dont l'énoncé est le plus technique. Il concerne la géométrie différentielle.
  Actuellement, seule la conjecture de Poincaré a été résolue par Perelman en 2003.