$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Mesure produit

  Soient $(\Omega_1,\mathcal B_1)$ et $(\Omega_2,\mathcal B_2)$ deux espaces mesurables. La tribu naturellement associée au produit $\Omega_1\times\Omega_2$ est la tribu engendrée par les produits $A_1\times A_2$, où $A_1\in \mathcal B_1$ et $A_2\in\mathcal B_2$. On appelle cette tribu la tribu produit des deux tribus $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$, et on la note $\mathcal B_1\otimes \mathcal B_2$ : $$\mathcal B_1\otimes\mathcal B_2=\sigma(\{(A_1\times A_2);\ A_1\in\mathcal B_1,\ A_2\in \mathcal B_2\}.$$

  Si $\mu_1$ est une mesure sur $(\Omega_1,\mathcal B_1)$ et $\mu_2$ est une mesure sur $(\Omega_2,\mathcal B_2)$, on souhaite définir la mesure produit $\mu_1\otimes\mu_2$. Il est naturel de vouloir qu'elle vérifie au moins la propriété suivante : $$\forall (A_1,A_2)\in \mathcal B_1\times\mathcal B_2,\ \mu_1\otimes \mu_2(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2).$$ Lorsque les mesures $\mu_1$ et $\mu_2$ sont $\sigma$-finies, il existe une unique mesure vérifiant cette propriété :
Théorème : Soient $(\Omega_1,\mathcal B_1,\mu_1)$ et $(\Omega_2,\mathcal B_2,\mu_2)$ deux espaces mesurés où $\mu_1$ et $\mu_2$ sont deux mesures $\sigma-$finies. Alors il existe une unique mesure $\mu_1\otimes\mu_2$ définie sur $(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal B_1\otimes \mathcal B_2)$ vérifiant : $$\forall (A_1,A_2)\in \mathcal B_1\times\mathcal B_2,\ \mu_1\otimes \mu_2(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2).$$ On appelle cette mesure la mesure produit des mesures $\mu_1$ et $\mu_2$.
On peut alors utiliser les théorèmes classique de Fubini et Tonelli pour calculer des intégrales par rapport à la mesure produit.
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