$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Mesure image

Définition : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré, soit $(Y,\mathcal B)$ un espace mesurable, et soit $f:(X,\mathcal A)\to (Y,\mathcal B)$ une application mesurable. Alors l'application $\mu_f$ définie sur les éléments de $\mathcal B$ par $$\mu_f(B)=\mu\big(f^{-1}(B)\big)$$ est une mesure sur $(Y,\mathcal B)$. On l'appelle la mesure image de $\mu$ pas $f$.
  Pour calculer l'intégrale d'une fonction par rapport à la mesure image, on dispose de la formule du changement de variables :
Théorème : Soit $g:(Y,\mathcal B)\to \mathbb R$ mesurable. Alors $g$ est intégrable par rapport à $\mu_f$ si et seulement si $g\circ f$ est intégrable par rapport à $\mu$. Dans ce cas, on a $$\int_Y gd\mu_f=\int_X g\circ f d\mu.$$
  La notion de mesure image est au centre de la théorie des lois des variables aléatoires. En effet, si $X$ est une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, la loi de $X$ n'est autre que la mesure image de $\mathbb P$ par $X$.
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