$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Mesure extérieure

Définition : Soit X un ensemble et définie sur l'ensemble des parties de X. On dit que est une mesure extérieure si
  1. est croissante :
  2. est sous-sigma-additive :

La différence essentielle par rapport à une mesure est qu'on ne demande pas à ce qu'il y ait égalité dans le point 3. si les En sont deux à deux disjoints.

La notion de mesure extérieure, introduite formellement par Constantin Carathéodory, est utile pour construire la mesure de Lebesgue. Voici comment on peut procéder :
  • Etant donnée une mesure extérieure sur X, on appelle ensemble mesurable pour toute partie A de X telle que
    L'ensemble des parties mesurable de X constitue une tribu, et la mesure extérieure devient une vraie mesure quand elle est restreinte à cette tribu.
  • Etant donné une algèbre de parties de X et une mesure sur , on peut la prolonger en une mesure extérieure sur P(X) par la formule
    En particulier, par le premier point, on obtient une mesure sur la tribu des parties mesurables de , et cette tribu contient .
  • Pour construire la mesure de Lebesgue, on considère l'algèbre des réunions d'intervalles disjoints, qu'on munit de la mesure
    où les An sont des intervalles deux à deux disjoints et l(An) est la longueur de An. La mesure de Lebesgue est alors la restriction de la mesure extérieure associée à m à la tribu de ses ensembles mesurables. Il reste à montrer que cette tribu contient tous les boréliens...
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