Mesure extérieure

Analyse -- Intégration

Définition : Soit X un ensemble et définie sur l'ensemble des parties de X. On dit que est une mesure extérieure si
  1. est croissante :
  2. est sous-sigma-additive :

La différence essentielle par rapport à une mesure est qu'on ne demande pas à ce qu'il y ait égalité dans le point 3. si les En sont deux à deux disjoints.

La notion de mesure extérieure, introduite formellement par Constantin Carathéodory, est utile pour construire la mesure de Lebesgue. Voici comment on peut procéder :
  • Etant donnée une mesure extérieure sur X, on appelle ensemble mesurable pour toute partie A de X telle que
    L'ensemble des parties mesurable de X constitue une tribu, et la mesure extérieure devient une vraie mesure quand elle est restreinte à cette tribu.
  • Etant donné une algèbre de parties de X et une mesure sur , on peut la prolonger en une mesure extérieure sur P(X) par la formule
    En particulier, par le premier point, on obtient une mesure sur la tribu des parties mesurables de , et cette tribu contient .
  • Pour construire la mesure de Lebesgue, on considère l'algèbre des réunions d'intervalles disjoints, qu'on munit de la mesure
    où les An sont des intervalles deux à deux disjoints et l(An) est la longueur de An. La mesure de Lebesgue est alors la restriction de la mesure extérieure associée à m à la tribu de ses ensembles mesurables. Il reste à montrer que cette tribu contient tous les boréliens...
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